1      Einleitung

Ein A-capella-Chor, ein Streichquartett oder ein Streichorchester musizieren in „reinen“, „schwebungsfreien“ Intervallen – sofern sie nicht mit einem zu starken Vibrato die Genauigkeit der Tonfindung verschleiern. Tasteninstrumente ticken anders. Sie sind meist „gleichstufig“ (*) gestimmt. Außer der Oktave ist kein Intervall „rein“, „schwebungsfrei“.

Alle (statischen) Stimmungen auf Tasteninstrumenten, die ein Werk „rein“, „schwebungsfrei“ wiedergeben wollen, stoßen rasch an Grenzen.

Eine Auswahl solcher Stimmungen wird folgend kurz beschrieben und kann auf der Seite „Hören und Spielen“ interaktiv getestet werden.

Spielerisch kann mit dem „Stimmen einer Violine oder Klaviers“ die eigene Grenze des Hörens ausgelotet werden.

Eine „dynamische Stimmung“ („rein+“) wird abschließend vorgestellt und es kann in der „Hören und Stimmen“ Seite beurteilt werden, ob dieses Prinzip hörbar ist und eine Verbesserung „reiner Stimmung “ bei Musikinstrumenten ermöglicht.

 

(*) Keyboards und Digitalpianos haben heute oft die Möglichkeit außer der gleichstufigen Stimmung weitere einzustellen. Am Beispiel eines Digitalpianos Kawai ES8 ist das über die MIDI-Schnittstelle mit der Browser Oberfläche möglich.    àReiter „Kawai ES8 (MIDI)“

 

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Inhaltsverzeichnis

1       Einleitung. 2

2       Stimmungen bei Tasteninstrumenten. 3

2.1         Die physikalischen Einheiten für Töne: Hertz und Cent. 3

2.2         Schwebung, Vibrato und Tremolo. 3

2.3         Kommata, Kleine Intervalle, Abweichungen von reinen Intervallen. 3

2.4         Reine Stimmung – Herleitung aus der Obertonreihe („Naturtöne“). 4

2.5         Gleichstufige Stimmung – die mathematische Universallösung. 7

2.6         Pythagoräische Stimmung – reine Quinten aus dem Quintenzirkel 8

2.7         Kirnberger III Stimmung – Änderung der pythagoräischen Stimmung: Kompromiss bei Quinten für reinere Terzen   9

2.8         1/4-Komma-mitteltönige Stimmung – viele reine große Terzen. 10

3       Sind die Unterschiede der Stimmungen hörbar?. 11

4       Wie gut kann ich selbst eine Violine oder ein Klavier stimmen?. 11

5       Sind bei „realen Musikstücken“ die unreinen Intervalle der (statischen) reinen Stimmung relevant?  11

6       Der Versuch einer „dynamischen“ Stimmung, basierend auf der reinen Stimmung („rein+“). 12

6.1         Analyse 1: Praetorius, Dances from Terpsicore XXXII. à 4 Bouree. 12

6.2         Analyse 2:  Choral aus BWV 99 „Was Gott thut, das ist wohlgetan“. 13

6.3         Analyse 3: Präludium in C, BWV 846. 13

6.4         Analyse 4: Corelli, Sonate für Violine in h-moll 13

6.5         Hermode Tuning. 14

7       Zusammenfassung, Ausblick. 15

 

2      Stimmungen bei Musikinstrumenten

 

Zunächst ein paar Grundbegriffe, ohne die es bei den folgenden Überlegungen nicht geht:

 

2.1      Die physikalischen Einheiten für Töne: Hertz und Cent

Den Kammerton a‘ kennt jeder mit „440 Hertz“. Das ist eine Frequenz f mit 440 Schwingungen pro Sekunde.

Das Intervall einer Oktave (Verdopplung der Grundfrequenz) hat dann von a‘ nach a‘‘ (880 Hertz = 2*440 Hz) 440 Hz.

Von a‘‘ nach a‘‘‘ (1760 Hz = 2* 880 Hz) hat die Oktave eine Differenz von 880 Hz. Damit eignet sich die Einheit „Hz“ mit nicht für einfache Vergleiche von Intervallen.

Dafür eignet sich die Einheit Cent. Durch Logarithmieren wird aus einer Multiplikation eine Addition:

1 Oktave ≔ 1200 Cent, 1 Halbton ≔ 100 Cent (bei der gleichstufigen Stimmung). 

Intervall _{f1, f2} [Cent] = 1200*LOG₂(f₂/f₁).

 

2.2      Schwebung, Vibrato und Tremolo

Vibrato = Modulation der Frequenz (leichte Änderung der Tonhöhe eines Tones).

Tremolo = Modulation der Amplitude (Änderung der Lautstärke eines Tones).

Schwebung = Überlagerung zweier Frequenzen, die wenig voneinander abweichen.

Die Schwebung wird vom menschlichen Gehör ähnlich wie ein Tremolo wahrgenommen. 

(->Wikipedia)

Das wird beim Stimmen verwendet:

Ist keine Schwebung mehr zu hören, sind zwei Töne gleich.

Unser Gehör hat nicht nur im Frequenzbereich des Hörens (20 Hz bis < 20 000 Hz) Grenzen sondern auch in der Wahrnehmung aufeinanderfolgender unterschiedlicher Tonhöhen (wenige Cent) und in der Beurteilung, ob es sich um ein kleines Intervall aus zwei Tönen handelt oder um „einen“ Ton mit einer Schwebung.  

Erhöht sich der Unterschied der beiden Frequenzen, dann werden diese getrennt wahrgenommen und es entsteht zusätzlich ein (dann tiefer) „Kombinationston“.

Schwebungen werden nicht nur bei fast gleichen Tönen wahrgenommen, sondern auch bei Obertönen, also bei Oktaven, Quinten, Quarten usw. Genau dieses motiviert nach Stimmungen zu suchen, die möglichst reine („schwebungsfreie“) Akkorde ermöglichen.

 

2.3      Kommata, Kleine Intervalle, Abweichungen von reinen Intervallen

 

Abbildung 2‑1: Abweichung von reinen Intervallen.

 

2.4      Reine Stimmung – Herleitung aus der Obertonreihe („Naturtöne“)

Obertöne (Naturtöne) kennt man von Blasinstrumenten: „Überblasen“. bei Saiteninstrumenten entspricht das einer Verkürzung der Saite auf 1/n: Flageolettöne. Aus ihnen lassen sich die Töne der C-Durtonleiter ableiten, auch jene der erweiterten, chromatischen C-Durtonleiter:

 

Abbildung 2‑2: Töne der chromatischen C-Dur Tonleiter aus Obertönen abgeleitet.

 

Abbildung 2‑3: Intervalle und Komplementärintervalle, Frequenzen reiner C-Dur Stimmung.

 

Es gibt hier 2 verschiedene Ganztöne!

 

Der eine oder die andere mag sich an eine Singstunde im Musikunterricht der Schule erinnern und dass „Do-Re“ ein größerer Ganzton (GGT: Großer Ganzton) ist, als  „Re-Mi“ (KGT: Kleiner Ganzton) mit den singbaren Tonleiterbezeichnungen „Do-Re-Mi-Fa-So-La-Ti-Do“.

 

Was wird mit der reinen Stimmung erreicht?

 

 

 

                                Abbildung 2‑4: Reine Stimmung - Frequenzen und Abweichung von reinen Intervallen.                               

 

Abbildung 2‑5: Reinheit der Akkorde bei reiner C-Dur Stimmung.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Abbildung 2‑6: Der Quintenzirkel Quinten auf- und absteigend

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Quintenzirkel#/media/Datei:Circle_of_fifths_rundgang_de.svg    CC BY-SA 3.0

 

 

2.5      Gleichstufige Stimmung – die mathematische Universallösung

Eine Oktave mit dem Verhältnis 2:1 zum Grundton, setzt sich aus 12 Halbtönen zusammen.

 

 

Wenn die Halbtonschritte alle gleich sein sollen und nach 12 Halbtönen die Oktave (2:1) erreicht sein soll, dann muss Frequenzverhältnis zwischen zwei Halbtönen genau  sein, entsprechend 100 Cent.

 

Was wird mit der gleichstufigen Stimmung erreicht?

 

Die Frequenztabelle mit den Abweichungen bei den verschiedenen Intervallen zeigt, dass alle Tonarten hier „gleich“ behandelt werden:

 

Abbildung 2‑7: Gleichstufige Stimmung - Frequenzen und Abweichung von reinen Intervallen.

Hinweis: Manchmal wird die gleichstufige Stimmung auch „gleichschwebend“ genannt, was aber nicht zutrifft, da die Schwebungsfrequenzen gleicher Intervalle sich mit der Tonhöhe ändert und die verschiedenen Intervalle bei gleichem Ausgangston unterschiedliche Abweichungen („Schwebungen“) aufweisen.

 

2.6      Pythagoräische Stimmung – reine Quinten aus dem Quintenzirkel

Durchläuft man den Quintenzirkel  mit 12 Quinten (3:2) nach oben ( Ges-Des-As-Es-B-F- C -G-D-A-E-H-Fis=Ges),  so landet man mit 7 Oktaven (2:1) nach unten wieder am Ausgangspunkt. Aber: man landet dort mit der Abweichung eines pythagoräischen Kommas: (3:2)¹² / (2:1)⁷ =531441/524288. Das entspricht 23,5 Cent.

 

Was wird mit der pythagoräischen Stimmung erreicht?

 

Abbildung 2‑8: Pythagoräische Stimmung - Frequenzen und Abweichung von reinen Intervallen.

 

2.7      Kirnberger III Stimmung – Änderung der pythagoräischen Stimmung: Kompromiss bei Quinten für reinere Terzen

Der „Preis“ der pythagoräischen Stimmung für reine Quinten und Quarten wird mit unreinen Terzen hoch bezahlt. Insbesondere sind auch die Terzen innerhalb der C-Dur Stimmung um ein syntonisches Komma (21,5 Cent) verstimmt. Die hier gewählte Variante „Kirnberger III“ von optimierter Stimmungen (Kirnberger I, II, Werkmeister…) verschlechtert die Reinheit der vier Quinten: c-g-d-a-e: Diese Quintintervalle werden um ¼ des syntonischen Kommas verstimmt: 5,4 Cent. Die Wolfsquinte verschwindet ganz und die Terzen insbesondere innerhalb C-Dur werden rein oder verbessern sich auf eine Abweichung von 5,4 oder 10,8 Cent (statt 21,5 Cent). Ohne Tabellenkalkulation war das im 18. JH eine Meisterleistung! J.P. Kirnberger war Schüler von J.S. Bach. Bei bestimmten Musikstücken erweist sich diese Optimierung „wohltemperierter“ als „rein“, gleichstufig“ und „pythagoräisch“. Sie steht in Konkurrenz zur mitteltönigen Stimmung, die große Terzen oft rein wiedergibt, das aber mit einer „kleinen“ Diesis (41 Cent) bei anderen Intervallen teuer „bezahlt“. Was ist besser? Wie so oft, es kommt auf das Stück an, welches wiedergegeben wird …

 

 Was wird mit der Kirnberger III Stimmung erreicht?

 

Abbildung 2‑9:Kirnberger III Stimmung - Frequenzen und Abweichung von reinen Intervallen.

2.8      1/4-Komma-mitteltönige Stimmung – viele reine große Terzen

Der Nachteil der pythagoräischen Stimmung waren die unreinen Terzen. Die Terzen waren um ein syntonisches Komma zu groß gewesen. Bei der ¼-Komma-mitteltönigen-Stimmung werden 11 Quinten um 1/4 syntonisches Komma verstimmt, um in den großen Terzen reine Intervalle zu erhalten. Mit 4 solcherart verstimmter Quinten kam Kirnberger III nach einer Runde durch den Quintenzirkel mit 7 Oktaven nach unten wieder exakt am Ausgangspunkt an. Mit 11 solchen Quinten durch den Quintenzirkel landet man bei einer extremen „Wolfsquinte“ mit einer Verstimmung von 36 Cent.   

 

Was wird mit der gleichstufigen Stimmung erreicht?

 

 

Abbildung 2‑10:  1/4 Komma-mitteltönige Stimmung - Frequenzen und Abweichung von reinen Intervallen.

3      Sind die Unterschiede der Stimmungen hörbar?

Das kann jeder für sich auf der Seite „Hören und stimmen“ ausprobieren. Alle Dur-Dreiklänge können per Tastendruck abgerufen werden. Musiker werden die PC-Tastatur bevorzugen, auf der auch mehrere Töne gleichzeitig abrufbar sind. Das geht auch mit „Touch“ auf einem Tablett.

Empfehlung, um die Unterschiede klar zu erforschen:

Reine Stimmung:  C→F→G→C: rein, schwebungsfrei. D→G→A→D: D (D-Fis-A) und A (A-Cis-E) sind um 21,5 bzw. 41 Cent verstimmt.   E→A→H→E: alle 3-Klänge haben 41 Cent Verstimmungen.

Gleichstufige Stimmung:  C→F→G→C abwechselnd in reiner und gleichstufiger Stimmung spielen. Auch eine kleine Terz (Tastatur: Z,I) das a‘ bleibt gleich, c‘‘ ändert sich hörbar.  …

Pythagoräische Stimmung: Wolfsquinte (h-fis): Tastatur: [J,5] oder als Quarte [5,U]. Abwechseln mit reiner Quinte / Quarte (C-G): [Q,T]  oder [T-I]. Terzen (C-Es,C-E):[i,o],[i,0 null]…

Kirnberger III: Gleich wie pythagoräische Stimmung, um die Verbesserung zu hören. Die kleine Terz (C-Es) ist hier auch verstimmt. „Reiner“ ist die kl. Terz A-C (5 Cent zu klein).

Mitteltönige Stimmung: Leicht verstimmte Quinten (5 Cent), z.B. C-G. Hörbar? Wolfsquinte: As-Es [6,0].

Weitere „interessante“ Intervalle lassen sich in den Tabellen finden.

 

4      Wie gut kann ich selbst eine Violine oder ein Klavier stimmen?

Mit dieser spielerischen Methode, sich mit den Stimmungen auseinanderzusetzen, kann mit einer „eigenen Stimmung“ die Thematik akustisch ausprobiert und vertieft werden (→ „Hören und stimmen“). Die 11 Töne C bis H sind zufällig verstimmt und nach Auswahl des Tones, der verändert werden soll, kann mit +/- und den Cursortasten die Tonhöhe verändert werden. Alle oktavierten Töne werden automatisch mit verändert.

Falls man „rein“ stimmen möchte, wird eingeblendet, welche Intervalle beim gewählten Ton bei „reiner Stimmung“ rein sind. Das Ergebnis kann nach (oder während) des Stimmens visuell gezeigt werden.

 

5      Sind bei „realen Musikstücken“ die unreinen Intervalle der (statischen) reinen Stimmung relevant?

Vermutlich ja – ich fand kein Werk, in welchem (transponiert nach C-Dur) nicht eine unreine Terz D-F oder eine unreine Quinte D-A vorkam. Die Subdominant Parallele, der d-Moll Akkord (d-f-a) ist in C-Dur zwar ein Nebenakkord, kommt aber mindestens in Teilen fast immer vor, auch wenn Tonika, Subdominante und Dominante i.A. „dominieren“.

6      Der Versuch einer „dynamischen“ Stimmung, basierend auf der reinen Stimmung („rein+“)

Zwölf Quinten sind keine 7 Oktaven, 4 kleine Terzen ergeben keine Oktave (6⁴/5⁴ = 2,0736 ≠ 2) usw. Die Forderung der Reinheit ist mit den gegebenen Zahlenverhältnissen mathematisch nicht lösbar. 

 

 

Meist wird in musikalischen Darbietungen keine neue Improvisation geboten, sondern es ist die Wiedergabe bekannter Stücke. Diese können auf „unreine“ Intervalle durchsucht werden, um diese dann zu korrigieren. Genau das habe ich in den 4 Beispielen versucht.

 

Generelle Vorgehensweise:

 

Hinweis: „Reine G-Dur Stimmung“, das kann mit der WEB-Audio Schnittstelle hier so gelöst werden, dass von G nach C transponiert wird (5 Halbtöne) und „alles“ um 500 Cent nach unten ausgeglichen wird. Damit genügt die Implementierung einer reinen Stimmung (in C), die dadurch äquivalent zu einer reinen Stimmung in G wird. Mit der Transposition nach C-Dur kann auch immer nach den gleichen Problemintervallen gesucht werden.   

 

6.1      Analyse 1: Praetorius, Dances from Terpsicore XXXII. à 4 Bouree

Das Original ist in C-Dur notiert. Siehe auch im Reiter Quellen & Links (1.1). Mit vielen Kreuzen ist z.B. in Takt 8 das Intervall E-Cis um 41 Cent verstimmt. Transponieren nach F-Dur reduziert insbesondere im 2. Teil die Anzahl der „Problemintervalle“. Wie im Hinweis oben gesagt, werden die transponierten Töne auf die ursprüngliche Lage korrigiert. Die ermittelten „Problemtöne“ werden dann um etwa ein syntonisches Komma korrigiert.

Die Noten.PDF enthält die Notation in C-Dur und F-Dur. Mit roten Pfeilen wird angegeben, welche Töne angehoben bzw. abgesenkt wurden. Änderungen werden auch farblich beim Abspiel Button angezeigt.

 

6.2      Analyse 2:  Choral aus BWV 99 „Was Gott thut, das ist wohlgetan“

Original ist in G-Dur. Für Analyse und Wiedergabe wird nach C-Dur transponiert und die Wiedergabehöhe zurückkorrigiert.
Hier war wenig bei konsonanten Akkorden zu korrigieren (15 Töne). Das Fis in Takt 7 wurde auch im dissonanten a7 Akkord korrigiert – wiederkehrende Töne sollten die Höhe nicht ändern. Korrektur wieder ca. ein syntonisches Komma. (18 Cent: 3 Cent sind kaum hörbar und eine geringere Korrektur ist bzgl. Akkord-Lage im Tonraum weniger problematisch) 

 

6.3      Analyse 3: Präludium in C, BWV 846

Die 33 Takt Variante des Präludiums wurde gewählt. Es sollte ein Stück sein, welches zwar von wechselnden Akkorden lebt – aber in Läufen. Die 2 Grundtöne werden im Präludium den halben Takt lang gehalten, der Rest sind 16-tel Läufe. Etwas aus Bach‘s „wohltemperierten Klavier“ darf bei Überlegungen zu reiner Stimmung nicht fehlen.

Hier gibt es 2 Varianten von Korrekturen.

Die erste (rein+) beschränkt sich auf die Korrektur des (konsonanten) d-Moll Akkords in         Takt 13,

die zweite (rein++) korrigiert auch einige dissonante Akkorde, wenn unreine Intervalle auftreten. Hört man die Korrekturen der dissonanten Akkorde?

 

6.4      Analyse 4: Corelli, Sonate für Violine in h-moll

Für die (für nicht-Profis) einfachere Analyse wurde auch hier transponiert: nach c-Moll. Die reine C-Durstimmung passt auch für c-Moll recht ordentlich.
Die Sonate ist für reine Stimmung aber eine Herausforderung, da sie (in der transponierten Version) von c-Moll nach C-Dur hin und her und jeweils darüber hinaus moduliert.
Nach Korrektur der Töne (im Prinzip entweder den einen nach unten oder zwei nach oben) war das Ergebnis enttäuschend. Die empfundene Höhe der Akkordfolgen passte nicht mehr.

Statt der Korrektur um +/-21,5 Cent klang eine Korrektur +/-10 Cent schon deutlich besser. Bei mindestens umfangreicheren Modulationen muss die Korrektur also „beidseitig“ gemacht werden.
Statt entweder „1 Ton nach unten“ oder „2 Töne nach oben“ erfolgte die Korrektur bei unreinen Akkorden im Stil: „1 Ton etwas nach unten UND 2 Töne etwas nach oben“.

 

Hinweis: Um rein von unrein unterscheiden zu können ist eine langsame Wiedergabe hilfreich, damit ein Akkord länger klingt. Eine Möglichkeit die Wiedergabegeschwindigkeit zu ändern wurde daher ergänzt.

 

Viel Spaß beim Hören der verschiedenen „(rein+) Versionen“ – auch mit den anderen Stimmungen!

 

 

6.5      Hermode Tuning

Im Notensatz Programm Capella (capella.com) können für die Wiedergabe verschiedene Stimmungen gewählt werden. Hermode-Tuning ist dabei keine Variante der statischen historischen Stimmungen, sondern eine adaptive Stimmung. Ursprünglich wurde Hermode Tuning  für „klassische“ Orgeln entwickelt, inzwischen aber an PC et al angepasst.

Mit Capella, auch dem freien Capella Reader (PC, nicht iPad), kann die Wiedergabe eines Werkes auch mit der adaptiven Hermode Stimmung wiedergegeben werden. (Das entdeckte ich fast zufällig nach obigen Analysen).

Mit Capella Audite+ kann die Hermode Stimmung auch von einem angeschlossenen Midi-Gerät interaktiv gespielt werden. Bei meinem PC mit einer kurzen (störenden) Verzögerung.

Andere Notensatzprogramme beschreiben auch die Integration der Hermode Stimmung (Logic Pro (Apple), Cubase (Steinberg)…).

Bei Hermode.com wird einiges dazu beschrieben, auch mit Hörbeispielen. Der Algorithmus selbst ist bei dem patentierten Verfahren aber nicht veröffentlicht worden.

Da das Tuning dem Grunde nach auch in „Echtzeit“, vom Midi-Keyboad gesteuert funktioniert, muss es unter Vorgabe der Stilrichtung vermutlich aus bisherigen Noten auf zukünftig notwendige „Korrekturen“ (nächste statistische Problemintervalle) schließen. Eine Analyse der vergangenen und zukünftigen Akkorde ist ein anderer Ansatz, der hier vorgeschlagen wird.

 

7      Zusammenfassung, Ausblick

Verschiedene Stimmungen sind hörbar, bei Stücken wie der Corelli Sonate, die für reine Intonation besonders empfindlich ist, wird das besonders deutlich. Statische Stimmungen stoßen bei ihr und auch bei Werken größerer Modulationstiefe an Grenzen. Bei Zwölftonmusik wird niemand über reine Stimmungen nachdenken, sondern fraglos zur mathematischen Gleichstufigkeit der Stimmung greifen.

Eine nächste Stufe des oben versuchten Ansatzes, die „reine Stimmung“ dynamisch zu verbessern und an geeignete Stücke anzupassen, ist machbar.

1. Analyse eines Werkes für ein Korrekturprofil: Suche nach den „Problemintervallen“.

2. Korrektur von konsonanten Problemintervallen nach oben und unten mit den Kriterien:

 

Ein gespieltes Werk kann nach wenigen Tönen (vom Prozessor im Keyboard oder PC) erkannt werden. Damit kann eine Korrektur Optimierung abgerufen werden oder bei einem unbekannten Stück gestartet werden, um bei einer Wiederholung zur Verfügung zu stehen. Das ginge im Wiedergabemodus und interaktiv.

 

Musikalisch Sinn macht alles indes nur, wenn der Klang dann mehr als die synthetischen Oszillatoren des PCs bietet und mehr als die mechanische, taktgenaue Tonabspulung einer Midi-Datei bietet. Musik ist mehr… 

 

Ich hoffe trotzdem, zum Nachdenken und Auseinandersetzen von Grundlegendem zu Stimmungen bei Musikinstrumenten angeregt zu haben 😊

 

Siegfried Maurer

November 2020, 

 

 

 

Über Mitteilungen zu besprochener Thematik freue ich mich, auch falls eine Korrektur nötig sein sollte!

 ©   musik@Siegfried-Maurer.net,

 

 

Quellen und links: Siehe Reiter Quellen, Links und ©

 

 

Anhang:

A 1       Noten zu Hörbeispielen (oben → Noten.pdf)

A 1-1   Michael Praetorius (1571-1621), Dances from Terpischore,Bouree XXXII. à 4

A 1-2   Johann Sebastian Bach (1685-1750), Choral „Was Gott thut das ist wohlgetan“ Aus Kantate BWV 99

A 1-3   Johann Sebastian Bach, Präludium in C-Dur Aus dem wohltemperierten Klavier 1. Teil BWV 846

A 1-4   Arcangelo Corelli (1653-1713) Aus Sonate 1 für Violine und Orgel: Adagio in h-moll (Op. 5 aus Nr. 1)

 

A2        Tabellen (oben → Tabellen.pdf)

A 2-1   Frequenzen der reinen Stimmung in C-Dur mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-2   Frequenzen der reinen Stimmung in a-Moll mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-3   Frequenzen der gleichstufigen in C-Dur mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-4   Frequenzen der pythagoräischen Stimmung in C-Dur mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-5   Frequenzen der Kirnberger III Stimmung in C-Dur mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-6   Frequenzen der mitteltönigen Stimmung in C-Dur mit allen Intervallen und Abweichungen in Cent

A 2-7   Reinheit von Akkorden in verschiedenen Dur- und Moll-Tonarten bei reiner Stimmung in C-Dur

A 2-8   Akkordvarianten von C-Dur, c-Moll, Korrektur von ausgewählten Akkorden

A 2-0   MIDI Notenliste